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C 练习实例61 – 杨辉三角形（长文讲解）

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前言：探索 C 语言中的杨辉三角形之美

在编程学习的旅程中，算法实践是提升逻辑思维与代码能力的重要途径。杨辉三角形作为经典算法案例，不仅体现了数学与编程的完美结合，更是 C 语言练习中不可或缺的进阶课题。本文将以“C 练习实例61 – 杨辉三角形”为核心，通过深入浅出的讲解，帮助初学者掌握其数学原理与实现方法，并为中级开发者提供优化思路与扩展方向。

数学原理与生成规则：金字塔般的数字世界

杨辉三角形是数学中一种特殊排列的数表，其核心规则可概括为：

  1. 每行的两端均为 1；
  2. 中间的每个数字等于上一行相邻两个数字之和。

这一规则的数学表达式为：
$$
\text{第 }n\text{ 行第 }k\text{ 个元素} = \binom{n-1}{k-1}
$$
其中 $\binom{n}{k}$ 为组合数，即从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个的组合方式数量。例如，第 4 行的元素为 1 3 3 1，对应组合数 $\binom{3}{0}, \binom{3}{1}, \binom{3}{2}, \binom{3}{3}$。

形象化比喻：建筑中的数字积木

可以将杨辉三角形想象为一座金字塔：

  • 塔尖（第一行）仅有一个积木块（数字 1）；
  • 每一层的积木块数量比上一层多一个；
  • 中间的积木是通过叠加“上方左右两侧的积木”构建而成。

这种层级递进的生成方式，完美体现了递推算法的核心思想。

C 语言实现杨辉三角形的代码示例

基础版：二维数组存储法

通过二维数组存储每一行的数值，是实现杨辉三角形的基础方法。以下是具体实现步骤：

#include <stdio.h>

#define MAX_ROWS 30  // 最大行数限制

int main() {
    int triangle[MAX_ROWS][MAX_ROWS] = {0};
    int rows, i, j;

    printf("请输入要生成的杨辉三角形行数（≤%d）：", MAX_ROWS);
    scanf("%d", &rows);

    // 初始化第一行
    triangle[0][0] = 1;

    for (i = 1; i < rows; i++) {
        triangle[i][0] = 1;      // 每行第一个元素为 1
        for (j = 1; j < i; j++) {
            // 当前行的中间元素 = 上一行的前一个元素 + 上一行的当前元素
            triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j];
        }
        triangle[i][i] = 1;      // 每行最后一个元素为 1
    }

    // 输出结果
    for (i = 0; i < rows; i++) {
        // 打印每行前导空格（使图形居中对齐）
        for (j = 0; j < rows - i - 1; j++) {
            printf("   ");
        }
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            printf("%6d", triangle[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

代码解析：

  1. 二维数组初始化：使用 triangle[MAX_ROWS][MAX_ROWS] 存储所有行的数据；
  2. 逐行填充：
    • 第一行直接赋值 triangle[0][0] = 1；
    • 后续每一行通过双重循环计算中间元素，公式为：
      triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]；
  3. 格式化输出：通过前导空格调整对齐方式，使三角形居中显示。

优化版：逐行计算法（节省内存）

若行数较大时，二维数组可能占用过多内存。此时可通过逐行计算的方式，仅保留上一行数据：

#include <stdio.h>

#define MAX_ROWS 30

int main() {
    int current_row[MAX_ROWS] = {0};
    int previous_row[MAX_ROWS] = {0};
    int rows, i, j;

    printf("请输入行数（≤%d）：", MAX_ROWS);
    scanf("%d", &rows);

    // 处理第一行
    current_row[0] = 1;

    for (i = 0; i < rows; i++) {
        // 输出当前行前导空格
        for (j = 0; j < rows - i - 1; j++) {
            printf("   ");
        }

        // 计算当前行元素
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            if (j == 0) {
                current_row[j] = 1;
            } else {
                current_row[j] = previous_row[j-1] + previous_row[j];
            }
            printf("%6d", current_row[j]);
        }

        // 将当前行复制为下一行的上一行
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            previous_row[j] = current_row[j];
        }

        printf("\n");
    }

    return 0;
}

优化点说明：

  • 空间复杂度降低：仅使用两个一维数组 current_row 和 previous_row，空间复杂度为 $O(n)$；
  • 数据传递：通过循环将当前行的值赋给上一行数组，避免保留所有历史数据。

常见问题与调试技巧

问题1：输出结果错位

现象：数值对齐不美观，或出现多余数字。
原因：输出格式字符串中的占位符设置不当。
解决方案：

  • 使用 printf("%6d", num) 为每个数字预留 6 个字符宽度；
  • 前导空格通过 rows - i - 1 控制，确保三角形对称。

问题2：数值溢出

现象：当行数较大时（如超过 30 行），数值可能超出 int 类型范围。
解决方案：

  • 改用 long long 类型存储数值；
  • 或通过数学公式 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 直接计算（需实现阶乘函数，但效率较低）。

进阶扩展：动态行数与图形化输出

动态内存分配

若需处理非常大的行数，可结合动态内存分配：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int rows;
    int **triangle;

    printf("请输入行数：");
    scanf("%d", &rows);

    // 动态分配二维数组
    triangle = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        triangle[i] = (int *)malloc((i + 1) * sizeof(int));
    }

    // 初始化第一行
    triangle[0][0] = 1;

    for (int i = 1; i < rows; i++) {
        triangle[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j];
        }
        triangle[i][i] = 1;
    }

    // 输出并释放内存
    // ...（与之前代码类似）
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(triangle[i]);
    }
    free(triangle);

    return 0;
}

图形化输出示例

通过 ASCII 字符模拟更复杂的几何图案：

// 在输出数值后添加特殊符号
printf("%6d%c", triangle[i][j], (j % 2 == 0) ? '*' : '#');

结论：从基础到进阶的思维跃迁

通过本篇文章的讲解，我们不仅实现了杨辉三角形的 C 语言程序，更深入理解了：

  1. 递推算法的核心思想；
  2. 二维数组与动态内存的使用场景；
  3. 数学与编程的结合方法。

对于初学者，建议从基础版代码入手，逐步调试并理解每一行的逻辑；中级开发者则可尝试优化内存使用或扩展功能。杨辉三角形虽看似简单，但它展现了算法设计中“以小见大”的智慧——通过局部规则的递推，构建出全局的复杂结构。

在后续学习中，可将此案例拓展至其他领域，例如：

  • 使用递归函数生成杨辉三角形；
  • 结合图形库绘制三维立体效果；
  • 探索其在组合数学、概率论中的实际应用。

愿本文成为您编程之路上的一块基石，助您在算法探索中不断突破自我！

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